السنة 4 من التعليم المتوسط

الفهـرس

المقدمة :

1- تقديم المحاور الكبرى للبرنامج

1.1- الأنشطة العددية

2.1- الدوال وتنظيم معطيات

3.1- الأنشطة الهندسية

2- التدريب على الاستدلال الاستنتاجي

3- التكنولوجيات الجديدة للإعلام والاتصال

4- اقتراح نموذج للتوزيع السنوي

5- بيداغوجيا الإدماج

6- التقويم

المقدمة :

أعدت هذه الوثيقة خصيصا للأستاذ، وتعدّ أداة هامة إذا أحسن استغلالها، فهي تمنحه توضيحات حول كيفية تنفيذ البرنامج. وظيفتها الأساسية، أن تمكن الأستاذ من فهم البرنامج، بتقديم وتوضيح المحاور الكبرى له. كما تقترح عليه نماذج لأنشطة مختارة للقسم، يمكن أن تساعده عند تحضيره لوضعيات تعلّمية.

أمّا فيما يتعلق بوظيفتها التكوينية، فتبقى العناصر المقترحة في الوثيقتين المرافقتين لبرنامجي السنة الأولى والسنة الثانية والمتعلقة بنمو المراهق وخاصة المستجدات التعليمية للمادة والممارسات الجديدة لفعل التعليم/التعلّم، مادة يمكن أن يستغلها الأستاذ في تحسين أدائه.

1- تقديم المحاور الكبرى للبرنامج :

1.1- الأنشطة العددية

يتواصل تعلّم الحساب العددي في أشكاله المختلفة (اليدوي، الذهني، الأداتي) من خلال حلّ مشكلات متنوّعة بهدف التحكّم في الحساب على الأعداد الناطقة والشروع في الحساب على الجذور التربيعية. كما يواصل التلميذ تعلّم الحساب الحرفي من خلال أنشطة نشر وتبسيط وتحليل عبارات جبرية وحلّ معادلات وإنجاز بعض البراهين وحلّ بعض المشكلات في مجال الحساب.

· قواسم عدد طبيعي، القاسم المشترك الأكبر، الكسور غير القابلة للاختزال.

إنّ هذا الباب (الحساب) كان يُقدّم في المنهاج السابق في السنة السابعة أساسي، وإدراجه في السنة الرابعة من التعليم المتوسط يستجيب لمبدأ توزيع المجالات على السنوات الأربع وكذا االتعليم الحلزوني للمفاهيم.

يسمح هذا الباب بتزويد التلميذ بأداة لتحويل كسر إلى كسر غير قابل للاختزال بالاعتماد على القاسم المشترك الأكبر، علما أن اللجوء إلى الخوارزمية المدروسة غير ضروري لاختزال الكسور البسيطة.

يهدف إدخال مفهوم القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس إلى ربط هذا المفهوم بالقسمة الإقليدية وكذا استغلال أدوات الحساب (المجدولات على الخصوص). لذا، فإنّ مفهوم العدد الأوّلي وبالتالي التحليل إلى جداء عوامل أولية خارج البرنامج.

كما يوّفر هذا الباب فرصا عديدة لتقديم أنشطة لاستثمار التعلّمات المتعلقة بالاستدلال الاستنتاجي (خارج المجال الهندسي) والحساب الحرفي وهذا من خلال انجاز بعض البراهين لخواص مقررة في هذا البرنامج أو عند معالجة بعض المشكلات (انظر الفقرة الخاصة بالاستدلال والبرهان).

· الحساب على الجذور.

سبق للتلميذ أن صادف في السنة الثالثة أعدادا مثل من خلال أنشطة متعلقة بخاصية فيثاغورس. تتوسع معارف التلميذ حول الأعداد الصمّاء ويمكن في هذا الإطار البرهان على أنّ مثلا، ليس عددا ناطقا.

تستغلّ خواص الجذور التربيعية والعمليات عليها، بالخصوص، في تبسيط عبارات عددية. يجب آلا يتمّ هذا التبسيط بصفة آلية، بل تختار الكتابة الملائمة أكثر مع المشكلة المطروحة.

فمثلا، الكتابة ليست بالضرورة "أحسن" من ، فالكتابة الأولى مفيدة ومناسبة لتبسيط المجموع () والثانية هي المفضلة عند حساب أطوال واستعمال عكس نظرية فيثاغورس.

يسمح هذا الباب للتلميذ بمواصلة ممارسة الحساب المضبوط والحساب التقريبي.

نشاط : الجذور التربيعية

المرحلة الأولى :

نعتبر المربعات الأربعة الممثلة كالآتي :

مساحة كلّ مربع في الشبكة هي .

1. انطلاقا من الشكل، عيّن مساحة وضلع كلّ مربع.

المساحة A للمربع

الطول للضلع

2. عبّر عن A بدلالة .

...........................................................................................................

3. أكمل الجمل الآتية :

طول ضلع المربع الذي مساحته هو .....................................................

العدد 3 هو ................................................................................

ونكتب .....................................................................................

4. استنتج عبارة بدلالة A. أعط شروط كتابة العبارة المحصّل عليها.

...........................................................................................................

5. عيّن القيمة المدوّرة إلى لضلع مربع مساحته .

........................................................................................................

المرحلة الثانية :

1)- ، عددان موجبان . أكمل الجدول الآتي :

						9	36
						0,01	0,25
						81	256

2)- انطلاقا من الجدول، أعط قواعد الحساب التالية :

، عددان موجبان، لدينا :

؛

· الحساب الحرفي والمعادلات

§ الحساب الحرفي

يتواصل تعلّم الحساب الحرفي باستعمال الحروف في وظائفها المختلفة من خلال العمل على العبارات الجبرية (النشر، التبسيط، التحليل) مع إدخال الجداءت الشهيرة وحلّ معادلات ومتراجحات.

فيما يخصّ موضوع الجداءات الشهيرة، وقصد استباق الأخطاء المتداولة (مثل الكتابة )، يمكن اقتراح وضعيات مشكلات تجعل التلميذ يدرك بنفسه هذه الأخطاء ويتجاوزها.

مثال :

استبدلتُ قطعة أرض مربعة الشّكل طول ضلعها بقطعتي أرض مربعتي الشكل طول ضلع الأولى وطول ضلع الثانية .

هل ربحت أم خسرت في الأمر ؟

مثل هذا النشاط يبيّن للتلميذ أنّ قبل تأسيس هذه المعرفة (المتطابقات الشهيرة).

يجب السهر على عدم المبالغة في التمارين التقنية والاكتفاء في مجال التحليل بأمثلة بسيطة.

ونحرص في هذا المجال، كما كان الشأن في السنة الثالثة متوسط، عل جعل التلميذ يدرك الاختلاف بين المجموع والجداء، وهو أمر أساسي وضروري بالنسبة إلى إتقان الحساب الحرفي ومنه تبسيط الكتابات الحرفية.

وكما ذُكر في الوثائق المرافقة لبرامج السنوات السابقة، فإنّ تعلّم الحساب الحرفي مهمة تتطلّب الوقت والصّبر ويبقى الانتقال من الحساب العددي إلى الحساب الحرفي صعبا بالنسبة إلى بعض التلاميذ، يجب إذن تكثيف وتنويع الأنشطة التي تساعدهم في تجاوز هذه الصعوبات.

§ المعادلات، جمل معادلات، المتراجحات.

يتواصل العمل على حل معادلات من الدرجة الأولى لمجهول واحد مع إدخال "المعادلة الجداء" وجملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين. إنّ الهدف ليس توظيف خوارزمية (تقنية) حل معادلات فقط بل هو معالجة مشكلات من المادة (هندسة، حساب) ومن المحيط الاجتماعي للتلميذ. كما كان الأمر في السنة الثالثة، نحرص على مراحل معالجة هذه المشكلات (اختيار المجهول أو المجهولين، ترييض المشكلة، المعالجة الرياضياتية للمشكلة وأخيرا مراقبة وتفسير النتائج المحصل عليها).

بالنسبة إلى المتراجحات، فإنّ طريقة حلها قريبة جدا من طريقة حلّ معادلات مع الانتباه إلى اتجاه المتباينة عندما نضرب طرفيها في عدد موجب أو سالب.

وكما كان الحال لعدّة مفاهيم من كلّ الميادين، ينبغي إدخال العناصر الجديدة لهذا المحور (معادلة جداء، جملة معادلتين، متراجحات) اعتمادا على حلّ مشكلات من المادة أو من المواد الأخرى أو من الحياة اليومية للتلميذ، بجعله يدرك فائدة هذه المفاهيم وفعاليتها في معالجة هذه المشكلات.

مثال :

أوجد عددين صحيحين متتاليين بحيث يكون جداؤهما مساويا مجموعهما مضافا إليه 1.

· اختيار المجهول : ليكن العدد الأوّل، فيكون هو العدد الذي يعقبه.

· ترييض الوضعية : أي .

· حلّ المعادلة : نحصل هكذا على معادلة من الدرجة الثانية لمجهول واحد لا نعلم حلّها. يمكن تحليل طرفي المعادلة ونحصل على .

نجعل الطرف الثاني للمعادلة معدوما ونجد أي.

وتكون المعادلة المحصّل عليها من الشكل حيث و عبارتان من الدرجة الأولى لمقدار غير معيّن واحد، تسمّى "معادلة جداء".

لحلّ هذا النوع من المعادلات، نعتمد على الخاصية "يكون جداء عددين معدوما إذا وفقط إذا كان أحد عاملي الجداء معدوما".

إذن يعني أو.

ونستنتج أو .

المعادلة تقبل حلّين : أو .

· الإجابة عن المشكلة :

إذا كان فإنّ .

إذا كان فإنّ .

وبالتالي يكون العددان المتتاليان هما : و أو و.

· التحقيق :

و يعني

و يعني

2.1- الدوال وتنظيم معطيات

· الدالة الخطية، الدالة التآلفية

يُقدّم هذا الجزء من البرنامج بالاعتماد على مكتسبات التلميذ ويحضّر الأرضية لإدخال المفاهيم اللاحقة (مفهوم الدالة عموما) مع الحرص على عدم التطرّق للأشياء النظرية مبكرا.

يقدّم هذان المفهومان (الدالة الخطية، الدالة التآلفية) انطلاقا من وضعيات ملموسة وبارتباط وثيق مع التناسبية (تناسبية قيم المقدارين في حالة الدالة الخطية وتناسبية التزايدات في حالة الدالة التآلفية).

ينبغي أن تكون هذه الوضعيات متنوعة ومن ميادين مختلفة.

مثال : تعريف الدالة التآلفية.

نشاط 1 :

في الشكل التالي، تتنقل النقطتانM وN عل المستقيمين (d) و(d’) بحيث يكون الرباعي ABMN مستطيلا. نسمّي الطول BM بالسنتيمتر.

نرمز بـ )P( إلى محيط المستطيل ABMN بالسنتيمتر و بـ) A( إلى مساحته بالسنتيمتر مربع.

1) أحسب )5P( و ) 5A( ثم )7P( و ) 7A(.

2) أتمم الجدول التالي :

العبارة المبسطة بدلالة	برنامج الحساب
P() = ……………………….
A() = ……………………….

نشاط 2 :

إليك طريقة حساب مبلغ الفاتورة الهاتفية :

- ثمن الوحدة المستهلكة هو 3 DA.

- قيمة الاشتراك هي 400 DA. لكلّ شهرين.

نسمي )P ( مبلغ الفاتورة الذي يجب دفعه عند استهلاك وحدة في الشهرين.

1) أحسب.

2) أتمم الجدول التالي :

الفترة	عدد الوحدات	التعبير عن )P ( بدلالة	برنامج الحساب
جانفي - فيفري	130
مارس - افريل	145		………………………..
ماي - جوان	200		……………………..
جويلية - أوت		P ( ) = …
		P(x) = …	…………………………

· تنظيم معطيات (الإحصاء)

عموما، ترمي برامج التعليم المتوسط في ميدان الإحصاء إلى تحقيق هدفين أساسيين، يتمثلان في :

- التدريب على قراءة واستعمال تمثيلات وبيانات.

- اكتساب بعض مفردات الإحصاء الوصفي.

§ تذكير بمحتويات برامج السنوات 1، 2، 3 :

	المحتويات	الكفاءات المستهدفة	تعاليق وأنشطة
السنة الأولى	استعمال جداول ومخططات	وضع وقراءة وتحليل معطيات في شكل جداول أو بيانات أو مخططات.	نأخذ أمثلة من المحيط المباشر للتلميذ (أعمار، قامات، مقاسات، عدد الإخوة، العلامات المحصل عليها في فرض، ...).
السنة الثانية	السلاسل الإحصائية التمثيلات البيانية التكرارات التكرارات النسبية	- قراءة معطيات إحصائية في شكل جداول أو تمثيلات بيانية (منحنيات ومخططات). - فهم معطيات إحصائية وتفسيرها. - تمثيل معطيات إحصائية بمخططات بالأعمدة أو بمخططات دائرية. - حساب التكرارات. - حساب التكرارات النسبية.	تعطى أمثلة من المحيط المباشر للتلميذ (أعمار، قامات ومقاسات التلاميذ) وكذلك من مواد أخرى وبالخصوص الجغرافيا (توزيع السكان، مساحات القارات، المناطق الزراعية، الإنتاج، ...). في حساب التكرارات نجعل التلميذ يعطي النتائج في مختلف الأشكال (نسبة مئوية، عدد عشري، ...).
السنة الثالثة	أمثلة للتجميع في فئات متساوية المدى. تمثيلات سلسلة إحصائية.	- تجميع معطيات إحصائية في فئات وتنظيمها في جدول. - حساب تكرارات. - تقديم سلسلة إحصائية في جدول وتمثيلها بمخطط أو بيان (الأشرطة، المدرج التكراري). - حساب تكرارات نسبية.	يتدرب التلميذ على استعمال التعبير : مجتمع، ميزة، تكرار، ... من خلال أمثلة تكون مختارة من محيطه (العلامات المحصل عليها في اختبار، هرم الأعمار، ... عند حساب تكرارات نسبية، تعطى كذلك في شكل نسب مئوية. في توزيع لمعطيات إحصائية في فئات وتمثيلها يمكن ملاحظة تناسب مساحات المستطيلات (الأشرطة) مع التكرارات.

	المحتويات	الكفاءات المستهدفة	تعاليق وأنشطة
السنة الثالثة (تابع)	المُتوسّط.	- حساب المتوسط المتوازن لسلسلة إحصائية. - استعمال المجدولات في استغلال معطيات إحصائية.	- تقترح أمثلة متنوعة لسلاسل إحصائية (يمكن أن تكون المجتمعات المدروسة غير الكائنات الحية) تعطي معنى للتكرار النسبي. مثال : تكرار ظهور حرف معيّن في نصّ مشكلة بالنسبة إلى مجموعة الحروف المستعملة في النصّ. المقصود بالمتوسط المتوازن لسلسلة إحصائية متوسط قيم هذه السلسلة المتوازن بالتكرارات المتعلقة بهذه القيم. تعطى وضعيات لسلاسل إحصائية يكون فيها للمتوسط المتوازن قيمة مضبوطة وسلاسل إحصائية مُجمّعة في فئات يكون فيها للمتوسط المتوازن قيمة مقربة. لإجراء الحسابات المتعلقة بسلسلة إحصائية، يمكن استعمال المجدولات التي تُوفر أوراقا للحساب. يكفي عندئذ برمجة الخلايا ليجري اللوجسيال الحسابات المطلوبة.

§ الإحصاء في السنة الرابعة متوسط

تعتبر محتويات الإحصاء للسنة الرابعة من التعليم المتوسط امتدادا لبرامج السنوات السابقة وتبقى الأهداف الأساسية لهذا الميدان والمذكورة أعلاه متمثلة في التدريب على قراءة واستعمال تمثيلات وبيانات واكتساب بعض مفردات الإحصاء الوصفي والعمل بالتكنولوجيات الجديدة للإعلام والاتصال.

شُرع في السنة الثالثة، في تناول مؤشرات الموقع بإدخال مفهوم الوسط الحسابي المتوازن لسلسلة إحصائية ويُزوّد التلميذ في السنة الرابعة بمؤشر آخر يتمثّل في الوسيط، حيث يمكن أن نلاحظ في بعض الحالات لسلاسل إحصائية مرتبة ترتيبا تصاعديا أنّ الوسط الحسابي لا يقسم السلسلة إلى جزءين لهما نفس عدد العناصر، وهو الأمر الذي يمكن تحقيقه بحساب الوسيط.

إنّ البرنامج يقتصر على مؤشرات الموقع ليكمّل بإدخال مؤشرات التشتت في بداية التعليم الثانوي وهو ما سيسمح بتعويد التلاميذ على امتلاك منهجية في الإحصاء عندما يتعلق الأمر بتلخيص معلومات بحساب مؤشرات تقيس النزعة المركزية أو التشتت للسلسلة المدروسة.

بالإضافة إلى ذلك، يساهم تدريس الإحصاء في تطوير الكفاءات الرياضياتية المرتبطة بالحساب وقراءة واستعمال البيانات.

كما نشير أنّ برنامج السنة الرابعة، الذي يمثّل حلقة وصل بين المرحلة المتوسطة والمرحلة الثانوية، يدقق ويصحّح بعض المفردات بما يضمن الانسجام بين المرحلتين.

المحتويات	الكفاءات المستهدفة	تعاليق وأنشطة
السلاسل الإحصائية مؤشرات الموقُع	حساب تكرارات مجمعة وتواترات مجمعة. - تعيين الوسط الحسابي والوسيط لسلسلة إحصائية وترجمتهما. - استعمال المجدولات لتمثيل سلسلة إحصائية أو حساب مؤشرات الموقع لها.	يسمح تمثيل التكرارات (أو التواترات) المجمعة المحصل عليها بقراءة مباشرة لتكرارات (أو تواترات) قيم أصغر (أو أكبر) من قيمة معينة للسلسلة الإحصائية. الغرض في هذه السنة هو تزويد التلميذ كذلك بالأدوات الأولى لتلخيص سلسلة إحصائية. يتم تعيين الوسيط من خلال أمثلة بسيطة لسلاسل إحصائية يكون عدد قيمها زوجيا أو فرديا أو تكون قيمها مجمعة في فئات. تختار أمثلة حيث يكون استعمال المجدولات ضروريا وذلك لابراز أهمية وضرورة التكيف مع مستجدات تكنولوجيات الإعلام والاتصال.

نقترح فيما يلي بعض الأمثلة التي نقدر أنّها تساعد على تغطية جل متطلبات هذا المجال في المرحلة المتوسطة، وهذا لا شك أنّه سيساهم بدوره في التناول السليم لموضوع الإحصاء.

1. تعابير إحصائية

مثال : للالتحاق بإكمالية "مولود فرعون" :

· 209 تلميذا يستعملون النقل العمومي.

· 284 تلميذا يأتون راجلين.

· 92 تلميذا يأتون في سيارات أوليائهم.

نسمّي مجتمعا إحصائيا مجموعة الأفراد الذين تخصّهم الدراسة الإحصائية.

في المثال السابق، يشكلّ تلاميذ إكمالية "مولود فرعون" المجتمع الإحصائي، أفراده تلاميذ هذه الإكمالية والدراسة الإحصائية تتمثل في كيفية التحاق التلاميذ بالإكمالية (طبيعة النقل المستعمل).

نسمّي التكرار الكلّي (المطلق) للسلسلة المعتبرة عدد عناصر هذه السلسلة.

في هذا المثال، عناصر السلسة هي عناصر هذا المجمع والذي يتمثل في تلاميذ الاكمالية المذكورة : .

نسمّي متغيرا إحصائيا أو ميزة إحصائية، الشيء الذي تخصّه الدراسة الإحصائية والذي يشتمل عدة أنواع مختلفة، حيث يأخذ كلّ فرد من المجتمع المدروس نوعا واحدا فقط من هذه الأنواع.

ونسمّي سلسلة إحصائية مجموعة نتائج الدراسة الإحصائية.

في هذا المثال، المتغيّر الإحصائي هو طبيعة النقل المستعمل.

نسمّي التكرار المرفق بنوع معين للمتغيّر الإحصائي عدد مرّات ظهور هذا النوع.

في هذا المثال، تكرار التلاميذ الذين يستعملون النقل العمومي هو 209.

نسمّي التواتر (أو التكرار النسبي) المرفق بنوع معين للمتغيّر الإحصائي حاصل قسمة تكرار هذا النوع على التكرار الكلي.

في هذا المثال، تواتر التلاميذ الذين يستعملون النقل العمومي هو ويُعبّر عن هذه النتيجة بعدد عشري أو بنسبة مئوية.

نقول عن ميزة إنّها كمّية عندما تكون ممثّلة بعدد.

العمر، المسافة، المدة، العلامة هي ميزات كمّية.

ونقول عن ميزة غير كمّية إنّها نوعية.

الجنس، اللّون، الشهادة هي ميزات نوعية.

نقول عن ميزة كمّية إنّها متقطعة عندما لا تأخذ إلا قيما معزولة.

عدد تلاميذ قسم معين، عدد الولادات خلال شهر في عيادة، العلامة المدورة إلى نصف نقطة هي ميزات كمّية متقطعة.

نقول عن ميزة كمّية إنّها مستمرّة عندما يمكنها أن تأخذ كلّ القيم المحصورة بين أيّ عددين من هذه السلسلة.

المسافة من البيت إلى الإكمالية، قامات تلاميذ، درجة الحرارة هي ميزات كمّية مستمرّة.

عندما تكون قيم الميزة الإحصائية مرتبة ترتيبا تصاعديا، نسمّي :

التكرار المجمّع (المتراكم) الصاعد لقيمة (أو لفئة) مجموع تكرار هذه القيمة وتكرارات القيم (أو الفئات) الأصغر منها.

التكرار المجمّع (المتراكم) النّازل لقيمة (أو لفئة) مجموع تكرار هذه القيمة وتكرارات القيم (أو الفئات) الأكبر منها.

كما نعرّف بنفس الكيفية التواتر المجمّع الصاعد أو النازل لقيمة (أو لفئة).

مثال :

تمثّل السلسلة الإحصائية الآتية علامات 25 تلميذا في فرض في الرياضيات.

15	14	13	12	11	10	9	8	7	العلامات
2	1	3	2	2	1	5	3	6	التكرارات
25	23	22	19	17	15	14	9	6	التكرارات المجمعة الصاعدة
8	4	12	8	8	4	20	12	24	التواترات(%)
100	92	88	76	68	60	56	36	24	التواترات المجمعة الصاعدة(%)

2. تقديم معطيات

مثال 1 :

عند إحصاء عدد الأطفال حسب العائلات في قرية، سُجلت النتائج التالية :

2	3	0	4	0	4	1	2	4	4	0	4	6	2	3
5	0	3	2	4	3	3	4	0	8	3	5	5	4	2
2	2	2	6	5	1	3	0	4	4	4	4	4	4	5

مثال 2 :

إليك العلامات التي تحصّل عليها تلاميذ في امتحان :

14	11,2	15,6	15,3	9,8	13	9,7	8	14,1	7,9	17,3	8,2	12,6	5	17,5
8,4	7,1	13	9,5	2,3	15	10,5	17,2	14,1	9	3,1	10,5	11,1	16,1	4,4
11	9,3	5,3	13,3	12,5	13,8